Question

【題目】已知動圓和定圓外切，和定直線相切.

（1）求該動圓圓心的軌跡的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，在曲線上存在一點，使得為定值，求出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），（2）存在，點.

【解析】

(1)由已知可得：點G的軌跡是到定點C（2，0）的距離和到直線L：x=-2的距離相等的點的集合．由拋物線的定義可知：點P的軌跡是拋物線．求出即可．

(2)設出直線的方程為: ,聯立兩方程得，設設，得出韋達定理，設，表示出，由恒成立的思想可得出定點坐標.

(1)由圓可得：圓心，半徑．
設所求動圓圓心為，過點作垂直于直線：，為垂足．
則，可得．
因此可得：點的軌跡是到定點的距離和到直線的距離相等的點的集合,
由拋物線的定義可知：點的軌跡是拋物線，定點為焦點，定直線是準線．∴拋物線的方程為：．
∴該動圓圓心的軌跡的方程是 ．

(2) 存在定點的坐標為，理由如下，

設直線的方程為: ,由得，，整理得，

設，則，

設，則，，

∴

∴當時，為定值，此時點，

所以在曲線上存在一點，使得為定值，此時點的坐標為.