Question

【題目】已知橢圓C： 經過點 ，左右焦點分別為F1、F2 ， 圓x2+y2=2與直線x+y+b=0相交所得弦長為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設Q是橢圓C上不在x軸上的一個動點，O為坐標原點，過點F2作OQ的平行線交橢圓C于M、N兩個不同的點
⑴試探究 的值是否為一個常數？若是，求出這個常數；若不是，請說明理由．
⑵記△QF2M的面積為S1 ， △OF2N的面積為S2 ， 令S=S1+S2 ， 求S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得：圓心到直線x+y+b=0的距離為1，即 ，所以 ，

又橢圓C經過點 ，所以 ，得到 ，

所以橢圓C的標準方程為 ．

（Ⅱ）(1)設Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），OQ的方程為x=my，

則MN的方程為x=my+1．

由 得 即

所以 = ，

由 ，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，

所以 ， ， =

= = ，

所以 ．

⑵∵MN∥OQ，∴△QF2M的面積=△OF2M的面積，∴S=S1+S2=S△OMN，

∵O到直線MN：x=my+1的距離 ，

∴ ，

令 ，則m2=t2﹣1（t≥1）， ，

令 ， ，

∴g（t）在[1，+∞）上為增函數，g（t）min=g（1）=3， ．

【解析】（Ⅰ）先根據圓與直線的位置關系求得b的值，再根據橢圓上點的坐標求得a，即可求得橢圓的標準方程；（Ⅱ）(1)先設出相關點的坐標并用其表示所需的相關直線方程，再根據題意中直線的相關特點表示|OQ|與 | M N |，進而求得相關的比值；(2)本小題的關鍵在于將兩個三角形面積的和化為一個三角形的和，表示出以后利用函數思想求得面積的最大值.
【考點精析】掌握直線與圓的三種位置關系是解答本題的根本，需要知道直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．