Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）設函數圖象上不重合的兩點.證明：.（是直線的斜率）

Answer 1

【答案】（1）①當時，函數在上單調遞增；②當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.（2）證明見解析

【解析】

（1）先由題意，得到函數定義域，對函數求導，分別討論和兩種情況，解對應的不等式，即可得出其單調性；

（2）根據斜率公式，由題意，得到，再由，將證明的問題轉化為證明，令，即證時，成立，設，對其求導，用導數的方法求其范圍，即可得出結果.

（1）函數的定義域為，

且

①當時，，此時在單調遞增；

②當時，令可得或（舍），，

由得，由得，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上：①當時，函數在上單調遞增；

②當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）由題意得，

所以

又，

要證成立，

即證：成立，

即證：成立.

令，即證時，成立.

設

則

所以函數在上是增函數，

所以，都有，

即，，

所以