Question

【題目】已知函數，

（1）若對任意，且，都有，求實數的取值范圍；

（2）在第（1）問求出的實數的范圍內，若存在一個與有關的負數，使得對任意時恒成立，求的最小值及相應的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的最小值為.

【解析】

（1）利用作差法比較大小即可；

（2）由（1）可知的圖象是開口向上,對稱軸的拋物線,將對任意時恒成立轉化為且,分別討論和的情況,進而求解即可

（1）依題意知

,

因為,所以,則,即實數的取值范圍是

（2）對任意時,“恒成立”等價于“且”,

由（1）可知實數的取值范圍是,

故的圖象是開口向上,對稱軸的拋物線,

①當時,在區間上單調遞增,

∴,,則,

要使最小,只需要,

若即時,無解；若即時,

解得（舍去）或

故（當且僅當時取等號）；

②當時,在區間上單調遞減,在遞增,

,,則,

要使最小,則,即,

解得（舍去）或（當且僅當時取等號）

綜上所述,當時,的最小值為