Question

已知橢圓的兩個焦點分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線（）與橢圓交于不同的兩點、，且線段 
的垂直平分線過定點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）求橢圓的標準方程，要找兩個等式以確定，本題中有焦點為，說明，又有離心率，即，由此再加上可得結論；（2）直線與圓錐曲線相交問題，又涉及到交點弦，因此我們都是把直線方程（或設出）與橢圓方程聯立方程組，然后消去（有時也可消去）得關于（或）的一元二次方程，再設交點為坐標為，則可得，，（用表示），于是中點坐標可得，其中，，而，從而建立了的一個等量關系，在剛才的一元二次方程中，還有判別式，合起來可得出關于的不等式，從而求出其范圍.
試題解析：（1）由已知橢圓的焦點在軸上，，，
，，        2分
橢圓的方程為        4分
（2），消去得        6分
直線與橢圓有兩個交點，，可得（*）        8分
設，
，中點的橫坐標
中點的縱坐標        10分
的中點
設中垂線的方程為：
在上，點坐標代入的方程可得（**）        12分
將（*）代入解得或，
        14分
考點：（1）橢圓的標準方程；（2）直線與圓錐曲線相交問題.