Question

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點P 為橢圓上一點，直線，判斷l與橢圓的位置關系并給出理由；
（3）過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線于點A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

(1) ;(2)相切；(3)定點

解析試題分析：（1）利用離心率,直線是拋物線的一條切線，所以聯立方程得到，利用橢圓中,算出.求出方程.
(2)直線與橢圓方程聯立，注意用到平方相減消，得到關于的方程，求其，利用點在橢圓上的條件，判定直線與橢圓的位置關系;
3. 首先取兩種特殊情形：切點分別在短軸兩端點時,求其切線方程，并求他們的交點，交點有可能是恒過的定點，如果是圓上恒過的定點，如果是則需滿足，,從而判定所求交點是否是真正的定點.此題屬于較難習題.
試題解析：（1）因為直線是拋物線的一條切線，
所以，
即        2分
又，所以，
所以橢圓的方程是.                 4分
（2）由
得
由①²+②得

∴直線l與橢圓相切                8分
（3）首先取兩種特殊情形：切點分別在短軸兩端點時，
求得兩圓的方程為，
兩圓相交于點（，0），（，0），
若定點為橢圓的右焦點（.
則需證：.設點，則橢圓過點P的切線方程是，
所以點
，
 所以.   11分
若定點為，
則，不滿足題意.
綜上，以線段AP為直徑的圓恒過定點（，0）.      13分
考點：1.橢圓的性質與方程；2.直線與圓錐曲線相交時的綜合問題.