Question

【題目】已知拋物線C1的頂點在坐標原點，準線為x＝﹣3，圓C2：（x﹣3）2+y2＝1，過圓心C2的直線l與拋物線C1交于點A，B，l與圓C2交于點M，N，且|AM|＜|AN|，則|AM||BM|的最小值為_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

設拋物線的標準方程，將點代入拋物線方程，求得拋物線方程，由拋物線的焦點弦性質，求得＝＝，根據拋物線的定義及基本不等式，即可求得答案．

設拋物線的方程：y2＝2px（p＞0），由準線方程x＝﹣3，

可得3，即p＝6，

拋物線的標準方程為y2＝12x，焦點坐標F（3，0），

圓C2：（x﹣3）2+y2＝1的圓心為（3，0），半徑為1，

由直線AB過拋物線的焦點，利用極坐標，可設A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），

由ρ，可得，

|AM||BM|＝|AF|﹣1（|BF|+1）＝|AF||BF|

＝3（）（|AF||BF|）

＝3（）3（2）6，

當且僅當|BF|＝2|AF|＝9時取得等號，

則|AM||BM|的最小值為6．