Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，且是等邊三角形，點是側面內的一個動點，且滿足，則點所形成的軌跡長度是_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，Q點在一個過BD，且與直線AC垂直的平面內，且Q點的軌跡是該平面內與平面PBC的交線段的長度.據此進行求解.

根據題意，連接AC，BD，記其交點為O，取PC上一點為M，連接MB，MD，作圖如下：

若滿足題意，又，故平面DBQ，

則點Q只要在平面DBQ與平面PBC的交線上即可.

假設如圖所示：平面DBM與平面DBQ是同一個平面，

則Q點的軌跡就是線段BM.

根據假設，此時直線平面DBM，則.

故三角形MOC為直角三角形.

因為三角形PAD是等邊三角形，三角形BAD也是等邊三角形，

故AD，又因為BC//AD，故BCPB，

故三角形PBC為直角三角形，故

故在三角形PAC中，

由余弦定理可得：

故在直角三角形MOC中，

在直角三角形PBC中，

=

在三角形BCM中：

故可得：.

故答案為.