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【題目】已知是定義域上的單調遞增函數

（1）求證：命題“設，若，則”是真命題

（2）解關于的不等式

【答案】(1)證明見解析.

(2)見解析.

【解析】分析：（1）利用原命題與原命題的逆否命題是等價命題，只需根據函數的單調性證明“若，則”即可；（2）利用（1）原不等式等價于以，即，分類討論指數函數的單調性，即可得到不等式的解集.

詳解：（1）原命題與原命題的逆否命題是等價命題

原命題的逆否命題：設“設，若，則”

下面證明原命題的逆否命題是真命題：

因為，若，得：，

又是定義域上的單調遞增函數

所以①

同理有②

由①+②得：

所以原命題的逆否命題是真命題

所以原命題是真命題

（2）易證，當時，

故

由不等式

所以，即

①當時，即時，不等式的解集為

②當時，即時，不等式的解集為

③當時，即時，不等式的解集為

練習冊系列答案
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【題目】已知函數是定義域為的奇函數.

（1）求實數的值并判斷函數的單調性；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

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【題目】為了解甲、乙兩奶粉廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩奶粉廠生產的產品中分別抽取16件和5件，測量產品中微量元素的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產品的測量數據：

編號

1

2

3

4

5

170

178

166

176

180

74

80

77

76

81

（1）已知甲廠生產的產品共有96件，求乙廠生產的產品數量；

（2）當產品中的微量元素滿足且時，該產品為優等品．用上述樣本數據估計乙廠生產的優等品的數量；

（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優等品數的分布列及其均值（即數學期望）．

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【題目】如圖,四棱柱中,底面是等腰梯形, ,,是線段的中點,平面.

(1)求證:平面；

(2)若,求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.

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【題目】微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，它支持發送語音短信、視頻、圖片和文字，一經推出便風靡全國，甚至涌現出一批在微信的朋友圈內銷售商品的人（被稱為微商）．為了調查每天微信用戶使用微信的時間，某經銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各名，將男性、女性使用微信的時間分成組：,,,,分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）根據女性頻率分布直方圖，估計女性使用微信的平均時間；

（2）若每天玩微信超過小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，請你根據已知條件完成的列聯表，并判斷是否有的把握認為“微信控”與“性別”有關？

參考公式：，其中．

參考數據：

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，點Q在棱AB上.

（1）證明：平面.

（2）若三棱錐的體積為，求點B到平面PDQ的距離.

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【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱函數是上的有界函數，其中稱為函數的上界.已知函數.

（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍；

（3）若，函數在上的上界是，求的解析式.

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【題目】某技術公司新開發了A，B兩種新產品，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品，現隨機抽取這兩種產品各100件進行檢測，檢測結果統計如下：

測試指標

[70，76）

[76，82）

[82，88）

[88，94）

[94，100]

產品A

8

12

40

32

8

產品B

7

18

40

29

6


（1）試分別估計產品A，產品B為正品的概率；
（2）生產一件產品A，若是正品可盈利80元，次品則虧損10元；生產一件產品B，若是正品可盈利100元，次品則虧損20元；在（1）的前提下．記X為生產一件產品A和一件產品B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數學期望．

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【題目】已知函數f（x）= ，設a∈R，若關于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（　�。�
A.[﹣ ，2]
B.[﹣ ， ]
C.[﹣2 ，2]
D.[﹣2 ， ]

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