Question

【題目】已知函數（）．

（1）求函數的單調區間；

（2）若恒成立，試確定實數的取值范圍；

（3）證明：（，且）．

Answer 1

【答案】（1）當k≤0時，函數f（x）在（1，+∞）為增函數，當k＞0時，函數f（x）在（1，）為減函數，在（，+∞）為增函數．（2）[1，+∞）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導數，再確定導函數在定義區間上零點情況：當k≤0時，導函數恒大于零，為增函數；當k＞0時，由一個零點x= ，先減后增（2）不等式恒成立問題，一般轉化Wie對應函數最值問題，即，結合（1）的單調性情況，可得k＞0且f（）=ln≤0解得k≥1，（3）利用導數證明不等式，一般方法為構造恰當函數，利用其增減性進行證明：因為k=1時，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2，令，則，代入疊加得證

試題解析：（I）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）

∴f′（x）= ﹣k，

當k≤0時，f′（x）＞0恒成立，故函數在（1，+∞）為增函數，

當k＞0時，令f′（x）=0，得x=

當f′（x）＜0，即1＜x＜時，函數為減函數，

當f′（x）＞0，即x＞時，函數為增函數，

綜上所述，當k≤0時，函數f（x）在（1，+∞）為增函數，

當k＞0時，函數f（x）在（1，）為減函數，在（，+∞）為增函數．

（Ⅱ）由（1）知，當k≤0時，f′（x）＞0函數f（x）在定義域內單調遞增，f（x）≤0不恒成立，

當k＞0時，函數f（x）在（1，）為減函數，在（，+∞）為增函數．

當x=時，f（x）取最大值，f（）=ln≤0

∴k≥1，即實數k的取值范圍為[1，+∞）

（Ⅲ）由（2）知k=1時，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2

∴＜1﹣，

∵= = ＜ =

取x=3，4，5…n，n+1累加得

∴+…+＜+++…+ = ，（n∈N，n＞1）．