Question

【題目】設，函數.

（1）求函數的單調增區間；

（2）試討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）通過導函數的正負來判斷的單調增區間（2）討論參數，利用求導來判斷函數的單調性，然后再通過最小值和的比較來判斷零點.

（1）若，，函數定義域為

當時，單調遞減；當時，單調遞增.

若，，，根據函數定義域知.

若，，則有，此時單調遞增.

若，當時，有，此時單調遞減；

當時，有，此時單調遞增.

綜上，若，單調遞增區間為，

若，單調遞增區間為，

若，單調遞增區間為.

（2）若，有最小值，此時有一個零點.

若，.

又因為單調遞增，所以只有一個零點.

若，是的最小值點，

當時，，不存在零點.

當時，，有一個零點.

當時，，而.并且當時，有，此時單調遞減，故在必存在一個零點.

而， 當時，有，此時單調遞增.故在必存在一個零點.

綜上，有兩個零點.