Question

【題目】已知直線經過橢圓（）的左頂點和

上頂點．橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線、與直線

分別交于、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）求線段長度的最小值；

（Ⅲ）當線段的長度最小時，橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）橢圓上存在兩個點，使得的面積為．

【解析】

（Ⅰ）令得，所以，所以，令得，所以，所以

，所以橢圓的標準方程為；

（Ⅱ）顯然直線的斜率存在且為正數，設直線的方程為（），聯立得

，解得，由得，

顯然，由求根公式得或（舍），所以，從而直線的方程為，聯立得，解得，所以，當且僅當時取“”，因此，線段長度的最小值為；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，時線段的長度最小，此時，，因為的面積為，所以點到直線的距離為，因為直線的方程為，設過點且與直線平行的直線的方程為，由兩平行線之間距離為得，解得或，當時，直線的方程為，聯立得，消去得，顯然判別式，故點有個；當時，直線

的方程為，聯立得，消去得，顯然判別式，故

點不存在．所以，橢圓上存在兩個點，使得的面積為．