Question

【題目】設函數

（1）若是函數的一個極值點，求函數的單調區間；

（2）當時，對于任意的（為自然對數的底數）都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先對函數求導，然后結合極值存在條件可求，關系，代入后即可求解單調區間；

（2）先分離出，轉化為求解相應函數的最值或范圍，結合導數可求．

解：（1）定義域，，

由題意可得，(1)即，

所以，

由函數存在極值可知，，

時，由可得，函數在單調遞增，由可得，函數在上單調遞減.

時，由可得，，函數在上單調遞減，由可得，在單調遞增；

當時，由可得，或，由可得，，

故函數的單調遞增區間，0，），單調遞減區間；

綜上所述：當，恒成立，不符合題意；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

當時，在上遞減，在上遞增.

（2）時，可得，，

令，，則，

令，，

則在上單調遞減，

所以（1），

所以在上單調遞減， ，即，

所以在上單調遞減，（e），

故．

故的范圍，．