【題目】已知函數
．
（1）若函數
在區間
內是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數有兩個極值點
，
，且
，求證：
．（注：
為自然對數的底數）
【答案】（1）
；（2）證明見解析
【解析】
（1）函數
在區間
上是單調遞增函數，
，化為：
，
.利用二次函數的單調性即可得出.
（2）
在區間
上有兩個不相等的實數根，方程
在區間上有兩個不相等的實數根.令
，利用根的分布可得
的范圍，再利用根與系數關系可得：
，得
，令
.利用導數研究其單調性極值與最值即可得出.
（1）解：∵函數在區間上是單調遞增函數，
∴，化為：，，
令
，則
時取等號.
.
∴實數的取值范圍是；
（2）證明：
在區間上有兩個不相等的實數根，
即方程在區間上有兩個不相等的實數根，
記，則
，解得
，
，
，
令，
，
記
，
，
令
在
上單調遞增.
，
因此函數
存在唯一零點
，使得
，
當
；當
時，
，
而
在
單調遞減，在
單調遞增，
而
，
，
，
∴函數
在
上單調遞減，
，
可得：
，
即
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《易經》是中國傳統文化中的精髓，下圖是易經八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每卦有三根線組成（“
”表示一根陽線，“
”表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現了楊輝三角.在歐洲，帕斯卡在1654年也發現了這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國古代數學的杰出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
（1）記楊輝三角的前n行所有數之和為
，求的通項公式；
（2）在楊輝三角中是否存在某一行，且該行中三個相鄰的數之比為
？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；
（3）已知n，r為正整數，且
.求證：任何四個相鄰的組合數
，
，
，
不能構成等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱
中，
，
，
為
的中點.
（I）若
為
上的一點，且
與直線
垂直，求
的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，設異面直線與所成的角為45°，求直線與平面
成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
.
（1）若
，求函數
在
處的切線方程；
（2）若函數在
和
處有兩個極值點，其中
，
.
（i）求實數
的取值范圍；
（ii）若
（e為自然對數的底數），求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）如圖，在多面體
中，底面
是邊長為
的的菱形， 
，四邊形
是矩形，平面
平面
， 
， 
和
分別是
和
的中點．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大�。�
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝
x3－
x2＋ax．
(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；
(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，
求證：g(x)的極大值小于等于10．
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