Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的單調區間和函數的最值；

（2）已知關于的不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）

【解析】

（1）求導后，分和兩種情況考慮的單調性；利用導數求的極值即可；

（2）對任意的恒成立，等價于對任意的恒成立，設，利用導數研究的單調性以及最值，從而可得到結論.

（1）因為，∴.

當，即時，恒成立，在區間上單調遞增.

當，即時，令，則或，單調遞增；令，則，單調遞減.

綜上，當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

因為，（）

所以，所以當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，所以，無最大值.

（2）對任意的恒成立，

即對任意的恒成立.

令，，則.

當時，因為，所以，所以，在區間上單調遞減.所以，符合題意.

當時，令，得，令，得，

所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以

由（1）知，即在上恒成立，不符合題意.

綜上，實數的取值范圍為