Question

【題目】已知函數.

(1)當時，用定義證明函數在定義域上的單調性;

(2)若函數是偶函數，

(i)求的值;

(ii)設，若方程只有一個解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)(i)，(ii)或

【解析】

（1）按單調性的定義證明步驟，任取，再作差判斷符號得到，即可得答案；

（2）(i)根據偶函數的定義得恒成立；

(ii)將方程中令，將方程化為，再對分、兩種情況分類討論.

(1)當時，函數定義域為，任取，

，

因為，所以，

所以，，

所以，

所以，故函數在上單調遞增;

(2)(i)因為函數是偶函數，所以，

即，

即，

所以恒成立，

所以;

(ii)由題意得，

所以，

所以，即，

設，則與一一對應，原方程化為，

設，

因為，所以與符號相同，

①當時，，則方程在上只有一個正根，

因為開口向上，，，，

當時，所以方程在上只有一個正根;

②當時，，則方程在上只有一個正根，

因為開口向下，，，

則，解得，所以，

故當或時，所以方程只有一個正根.