Question

【題目】對數列{an}前n項和為Sn ， an＞0（n=1，2，…），a1=a2=1，且對n≥2有（a1+a2+…+an）an=（a1+a2+…+an﹣1）an+1 ， 則S1S2+S2S3+S3S4+…+Sn﹣1Sn= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵（a1+a2+…+an）an=（a1+a2+…+an﹣1）an+1=（a1+a2+…+an﹣1+an﹣an）an+1=（a1+a2+…+an﹣1+an）an+1﹣anan+1 ，
∴anan+1=（a1+a2+…+an）（an+1﹣an），
當n=2時，a2a3=（a1+a2）（a3﹣a2），
∴a3=2，
∴Sn= ，
∴Sn﹣1= ，n≥3，
∴an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，
整理得an2=an+1an﹣1 ，
∴數列{an}從第3項開始為等比數列，
當n=3時，a32=a4a2 ， ∴a4=4，
∴q= =2，
∴an=
當n≥2時，Sn=1+ =2n﹣1 ，
∴Sn=
當n≥2時，SnSn﹣1=2n﹣12n﹣2=22n﹣3 ，
∴S1S2+S2S3+S3S4+…+Sn﹣1Sn=21+23﹣+25+…+22n﹣3= =
所以答案是： ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．