Question

設函數，其中，為正整數，、、均為常數，曲線在處的切線方程為.
（1）求、、的值；
（2）求函數的最大值；
（3）證明：對任意的都有.（為自然對數的底）

Answer 1

（1），，；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）利用點在切線上，求出的值，由切線方程求出切線的斜率，從而得到的值，再結合題干的條件列方程組求出、、的值；（2）利用導數求出極值，利用極值與最值的關系求出最大值；（3）證法1是利用分析法將問題等價轉化為證明不等式，最后等價證明，利用換元法，構造新函數，只需證明不等式即可，利用導數，結合單調性進行證明；證法2是先構造新函數，證明在區間內成立，再令，得到，最終得到，再結合（2）中的結論得到.
試題解析：（1）由點在直線上，可得，即.  
，.
又切線的斜率為，，，，；
（2）由（1）知，，故.
令，解得，即在上有唯一零點.
當時，，故在上單調遞增；
當時，，故在單調遞減.
在上的最大值.
（3）證法1：要證對任意的都有，只需證，
由（2）知在上有最大值，，故只需證.
即，即，①
令，則，①即，②
令，則，
顯然當時，，所以在上單調遞增，
，即對任意的②恒成立，
對任意的