Question

【題目】如圖，設直線：，：.點的坐標為.過點的直線的斜率為，且與，分別交于點，（，的縱坐標均為正數）.

（1）求實數的取值范圍；

（2）設，求面積的最小值；

（3）是否存在實數，使得的值與無關?若存在，求出所有這樣的實數；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）由直線的方程為，求出交點坐標后由縱坐標為正可得的范圍．

（2）在（1）基礎上，求出后可得面積，令換元后由基本不等式可得最小值．

（3）在（1）基礎上，求出，不論為何值（有意義時），此值為常數，分析此式可得結論．

（1）直線的方程為，

令得，，由，得，∵，∴，

由得（時，方程組無解，不合題意），

由，∵，∴或，

綜上．即．

（2）由（1）得，，，，

設直線的傾斜角為，則，，∴，

，

令，則，，

．

當且僅當，即，時等號成立，

∴的最小值是．

（3）假設存在滿足題意的，由（1），，

∴，此式與值無關，則，．

所以，存在，的值與無關．