Question

【題目】已知中心為坐標原點、焦點在坐標軸上的橢圓經過點和點，直線：與橢圓交于不同的，兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓上存在點，使得四邊形恰好為平行四邊形，求直線與坐標軸圍成的三角形面積的最小值以及此時，的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，.

【解析】

（1）利用待定系數法將兩點代入橢圓方程即可求得結果

（2）由于四邊形為平行四邊形，則，因為點在橢圓上，解得與的關系，根據直線方程得到三角形面積，利用均值不等式求得最值

（1）由題意可設橢圓的方程為（，，且）.

解得

所以橢圓的標準方程為.

（2）由題意可設，.

聯立

整理得.

.

根據韋達定理得

因為四邊形恰好為平行四邊形，

所以.

所以，

.

因為點在橢圓上，所以，

整理得，即.

在直線：中，由于直線與坐標軸圍成三角形，則，.

令，得，令，得.

所以直線與坐標軸圍成的三角形面積為

，

當且僅當，時，取等號，此時.

所以直線與坐標軸圍成的三角形面積的最小值為.

此時，，.