Question

【題目】已知，函數，函數．

（1）當函數圖象與軸相切時，求實數的值；

（2）若函數對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，討論函數在區間上的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，在區間有1個零點，當時，在區間內無零點．

【解析】

（1）設切點，由導數的幾何意義為切線的斜率構建方程，求得答案；

（2）結合已知表示函數的解析式，對其求導，由導函數解析式可知在單調遞增，再分類討論當，當，兩種情況下的單調性和最值即可；

（3）結合已知表示函數的解析式，對其求導，由導函數解析式可知在單調遞減，分類討論當時，易證，無零點；當時，由不等式性質與單調性易證得有1個零點；當時，由零點的存在性定理可知存在唯一，使得，再利用導數分析單調性，進而分析出此時無零點.

（1）由題得設切點，，

所以，

，解得；

（2），

因為在單調遞增，所以在單調遞增，

所以．

當，，在單調遞增，

所以恒成立，所以．

當，，

所以，

當，

所以，使得，

當，，在單調遞減，

所以時，，與矛盾舍去．

綜上 ．

（3），，在單調遞減．

當時，，因為，

所以，即在單調遞增．

則，所以在區間內無零點．

當時，，

所以，

，所以存在唯一，使得．

所以在區間有1個零點．

當時，

在單調遞減，

所以存在唯一，使得，

當，，在單調遞增，

當，，在單調遞減，

所以當時，最大值為，

代入得，，

因為，所以，故，

所以，在在區間內無零點．

綜上，當時，在區間有1個零點，

當時，在區間內無零點．