Question

【題目】已知直線l的參數方程為 （t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2．
（Ⅰ）證明：不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個公共點；
（Ⅱ）以α為參數，求直線l與曲線C相交所得弦AB的中點軌跡的參數方程，并判斷該軌跡的曲線類型．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為ρ=2，∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2=4， 將 代入x2+y2=4，得t2+2tcosα﹣3=0，（*）
由△=（2cosα）2﹣4×（﹣3）＞0，知方程（*）恒有兩個不等實根，
故不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個公共點．
解：（Ⅱ）設直線l與曲線交點A、B對應的參數分別為t1 ， t2 ， 弦AB中點P對應參數為t0 ，
由（*）知 =﹣cosα，
代入 中，整理，得弦AB的中點的軌跡方程為 ，
即 （α為參數），該曲線為圓
【解析】（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程求出曲線C的直角坐標方程為x2+y2=4，將 代入x2+y2=4，得t2+2tcosα﹣3=0，利用根的判別式能證明不論t為何值，直線l與曲線C恒有兩個公共點．（Ⅱ）設直線l與曲線交點A、B對應的參數分別為t1 ， t2 ， 弦AB中點P對應參數為t0 ， 由中點坐標公式求出 =﹣cosα，代入 中，能得到弦AB的中點的軌跡方程，由此能求出結果．