Question

已知橢圓的離心率為，為橢圓的左右焦點，；分別為橢圓的長軸和短軸的端點(如圖) .若四邊形的面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程.
（Ⅱ）拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點任意作一條直線，交拋物線于兩點. 證明：以為直徑的所有圓是否過拋物線上一定點.

Answer 1

解：(1)根據題意設橢圓方程為,

由已知,,則，又,
，   ，所求的橢圓方程為.  ….…6分
(2) 根據題意知拋物線方程為: ，設滿足題意的點為，
設其中，因為是直徑，所以，
  ，
整理為：  …… ……（※）
同時，
整理為： 代入點得：
即有：,將其代入（※）式中整理為：
顯然時上式恒成立, 進而算得，所以為定點，從而說明滿足題意的存在為.  當直線垂直于軸時,易求得以為直徑的圓為，同樣可檢驗其經過.                 ….…15分
方法二：（2）設設直線AB的方程為，與聯立消有,
，
以AB為直徑的圓的方程為，即
，代入，有
，
即，
令. ……15分

略