Question

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由. 

Answer 1

(1）；（2).

解析試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數的關系.第五步：根據題設條件求解問題中結論.
試題解析：解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．
依題意　解得　 
∴橢圓方程為.[
（2）假若存在這樣的k值，由得．
∴　　　　�、�
設，、，，則　　　　�、�
而．
要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即 ∴　　　�、�
將②式代入③整理解得．經驗證，，使①成立.
綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E.
考點：(1)橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓的綜合問題.