Question

【題目】已知圓，直線.

（1）若直線與圓交于不同的兩點,當時，求的值.

（2）若是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點；

（3）若為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）依題意圓O的半徑=，點O到的距離，即=·，所以；（2）由題意O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設，則得，即，而C、D在圓O：上，所以CD方程為，整理得，由得，故直線CD過定點；（3）設圓心到EF、GH的距離分別為，則， 而，，，

故， 當且僅當即時，取“=”.

試題解析：（1）點O到的距離2（分）

∴=· （4分）

（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設

其方程為：

即：

又C、D在圓O：上

∴即（7分）

由得

∴直線CD過定點（9分）

（3）設圓心O到直線EF、GH的距離分別為.

則（11分）

∴

∴

當且僅當即時，取“=”

∴四邊形EGFH的面積的最大值為（14分）