Question

【題目】已知常數數列的前項和為，且

（1）求數列的通項公式；

（2）若且數列是單調遞增數列，求實數的取值范圍；

（3）若數列滿足：對于任意給定的正整數，是否存在使 ?若存在，求的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）利用作差法可證得數列為等差數列，由等差數列性質求得通項公式；

（2）由相鄰兩項作差，分奇偶討論結合遞增性質即可求得參數的取值范圍；

（3）假設存在，列出等式可由p、q的范圍判斷是否存在.

（1）∵∴，

∴

化簡得：（常數），

∴數列是以1為首項，公差為的等差數列；

（2）又∵，，

∴，∴

①當是奇數時，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

②當是偶數時，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

綜上可得：實數的取值范圍是．

（3）由（1）知，，又∵，

設對任意正整數k，都存在正整數，使，

∴，∴

令，則（或）

∴ （或）