Question

【題目】已知函數 的定義域為R．
（1）求實數m的范圍；
（2）若m的最大值為n，當正數a，b滿足 時，求4a+7b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數的定義域為R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．
（2）解：由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b= = ，當且僅當 時取等號，∴4a+7b的最小值為 ．
【解析】（I）利用絕對值不等式的性質即可得出．（II）利用柯西不等式的性質即可得出．
【考點精析】關于本題考查的函數的定義域及其求法和絕對值不等式的解法，需要了解求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．