Question

【題目】已知橢圓的上頂點為,離心率為. 拋物線截軸所得的線段長為的長半軸長.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線與相交于兩點,直線分別與相交于兩點

證明：以為直徑的圓經過點；

記和的面積分別是,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，②.

【解析】試題分析：（1）中，令得，， 又，則，從而,進而可得橢圓的方程；（2）設出直線方程，與拋物線方程聯立，消去，根據韋達定理以及平面向量數量積公式可證明 恒等于零，從而可得以為直徑的圓經過定點；設直線:，顯然，由，利用弦長公式可得，同理，從而可得，直線與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出，從而求得，從而可得兩面積比，利用基本不等式求解即可.

試題解析：（1）已知.中，令得，，

又，則，從而,

橢圓的方程為：,

（2）直線的斜率顯然存在，設方程為.由得

設,

由已知，所以.

,

故以為直徑的圓經過點 .

設直線:，顯然，由，得，或，

，則，

由知/span>，直線:

那么 ,

由得，解得或,

，則，

由知，直線:,

那么 ,

，

當且僅當時等號成立，即最小值為.