Question

【題目】如圖，在正方體中，、為棱、的中點．

（Ⅰ）求證：平面．

（Ⅱ）求證：平面平面．

（Ⅲ）若正方體棱長為，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據三角形中位線性質得EF//BD，再根據平行四邊形性質得，從而有，再根據線面平行判定定理得平面（2）分析可得關鍵證平面，這可由正方形性質得，由正方體性質得平面，即得，最后根據線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理證得結論（3），三棱錐高為，再利用三棱錐體積公式可得體積

試題解析：（Ⅰ）

證明：連接，

∵且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴．

又∵、分別是，的中點，

∴，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）證明：在正方體中，

∵平面，

∴，

又∵四邊形是正方形，

∴，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面．

（Ⅲ），

∵，

∴．