Question

【題目】平面上有個點，將每一個點染上紅色或藍色.從這個點中，任取個點，記個點顏色相同的所有不同取法總數為.

（1）若，求的最小值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）詳見解析.

【解析】

（1）當時，共有個點，對染紅色的點的個數分類討論，即得T的最小值為2.(2) 首先證明：任意，，，有. 設個點中含有個染紅色的點，接著證明①時，②時，③時，.

解：（1）當時，共有個點，

若染紅色的點的個數為個或個，則；

若染紅色的點的個數為個或個，則；

若染紅色的點的個數為個或個，則；

若染紅色的點的個數為，則；

因此的最小值為.

（2）首先證明：任意，，，有.

證明：因此，所以.

設個點中含有個染紅色的點，

①當時，

，

因為，所以，

于是.

②當時，

，

同上可得.

③當時，

，

設，，

當時，

，

顯然，

當即時，，

當即時，，

即；；

因此，即.

綜上，當時，.