Question

【題目】若函數在定義域內存在實數x，滿足，則稱為“局部奇函數”．

已知函數，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由；

設是定義在上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍；

若為定義域R上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是“局部奇函數”；（2） ；（3）.

【解析】

運用兩角和與差的正弦公式，化簡，再由由局部奇函數的定義，即可判斷；

根據局部奇函數的定義，可得方程在上有解，運用換元法，令，則，求出右邊的值域即可；

根據“局部奇函數”的定義可知，有解即可設，則，即有方程等價為在時有解，設，由對稱軸和區間的關系，列出不等式，解出即可．

解：由于，，

則，由于，則，

當時，成立，由局部奇函數的定義，可知該函數為“局部奇函數”；

根據局部奇函數的定義，時，可化為，

因為的定義域為，所以方程在上有解，

令，則，

設，則，

當時，，故在上為減函數，

當時，，故在上為增函數，

所以時，所以，

即．

根據“局部奇函數”的定義可知，函數有解即可，

即，

，

即有解即可．

設，則，

方程等價為在時有解，

設，

對稱軸，

若，則，

即，

，此時，

若，要使在時有解，

則，即，

解得，

綜上得，