Question

【題目】如圖，三棱錐中，，底面為正三角形.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若平面，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明線線垂直，一般通過線面垂直性質定理，即先證線面垂直，耳線面垂直的判定，往往從線線垂直出發，其中線線垂直的尋找與論證往往利用平幾知識：取的中點，則由等腰三角形性質得，，進而可證線面垂直（Ⅱ）求二面角，一般利用空間向量進行求解，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角之間關系求解

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點，連接，，

∵，

∴，

又，

∴，

∴.………………………………5分

（Ⅱ）平面且交于，，

∴，則可建立如圖所示的空間直角坐標系.

又，為正三角形，

∴，.

設為平面的法向量，則，

∴，∴，

取，則為平面的一個法向量，

又為平面的一個法向量，

∴，

則二面角的余弦值為.…………………12分