Question

【題目】設滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：①；②.

（1）若等比數列為階“期待數列”，求公比；

（2）若一個等差數列既是階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

（3）記階“期待數列” 的前項和為，求證；數列不能為階“期待數列”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）對是否等于1進行討論，令解出；

（2）由得出下標和為的兩項和為0，根據數列的單調性得出前項和為，后項和為，根據等差數列的性質將后項和減去前項和即可得出公差與的關系，再利用求和公式得出首項；

（3）①根據條件①②即可得出數列的所有正項和為，所有負項和為，故而；

②由①可知的前項全為非負數，后面的項全是負數，于是的前項和為，故而得出，于是得出．

解：（1）若，由①得：，得，不合題意，舍去；

若，由①得：，解得．

（2）設等差數列的公差是，

因為，

，

，，，

則，．

兩式相減得：，，

又，解得，

．

（3）記中非負項和為，負項和為，

則，，得，

因為，所以.

若存在，使，

則，，，，，，，，且，

若數列是階“期待數列”，記的前項和為，

則，，

因為，所以，所以，，

又因為，則，

所以

所以與不能同時成立，

即數列不能為階“期待數列”.