Question

【題目】如圖所示，正方體的棱長為1，,為線段,上的動點，過點,,的平面截該正方體的截面記為,則下列命題正確的是________.

①當且時,為等腰梯形;

②當,分別為,的中點時，幾何體的體積為;

③當為中點且時，與的交點為,滿足;

④當且時, 的面積.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

將①③④三個命題逐一畫出圖像進行分析,即可判斷出真命題,從而得到正確的序號；②利用空間向量求點面距，進而得體積.

①:作圖如下所示,過 作,交于,截面為

即

即截面為等腰梯形.故①正確.

②:以 為原點,、、分別為、、 軸,建立空間直角坐標系,則

,,,

,,

設平面 的法向量為,則

不妨設,則法向量.則點到平面 的距離

.故②正確.

③:延長 交 的延長線于一點,連接 交 于點

.故③錯誤

④:延長 交 的延長線于,連接交于,則截面為四邊形

根據面積比等于相似比的平方得 .

在 中,,

邊上的高為

故④錯誤

故答案為: ①②.