Question

【題目】正整數數列滿足：，．試求通項公式．

Answer 1

【答案】

【解析】

據條件知，數列嚴格遞增．于是，

先在條件式中取，得到，

即． ①

據式①左端得．

則． ②

又由式①右端得，且，

故． ③

據式②、③得整數．

再對條件式中取，得到，

即． ④

由式④左端得．

則．

由式④右端得，即．

因，所以，．故．

繼而在已知式中取，得，

即． ⑤

又為正整數，故式⑤右端恒成立．

而由式⑤左端有，故，得．

由，，，，猜想． ⑥

首先，若將式⑥代入已知式得，

即，或．

此式顯然成立．

下證：是滿足條件的唯一數列．

對歸納．當時已驗證．若式⑥對于成立，則對于，據已知式有

． ⑦

由式⑦右端得．

則． ⑧

（這里用到，當時， ．）

據式⑦左端得，

即． ⑨

其判別式

．

設與式⑨對應的關于的一元二次方程的兩根為、．

則

． ⑩

（這里用到，當時， ．）

據式⑧、⑩得．

故由歸納法知，對任意的，式⑥成立，即．