Question

【題目】設函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數恰有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1），討論a，求得單調性即可（2）利用（1）的分類討論，研究函數最值，確定零點個數即可求解

（1）因為，其定義域為，

所以.

①當時，令，得；令，得，

此時在上單調遞減，在上單調遞增.

②當時，令，得或；令，得，

此時在，上單調遞減，在上單調遞增.

③當時，，此時在上單調遞減.

④當時，令，得或；令，得，

此時在，上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）可知：①當時，.

易證，所以.

因為，，

.

所以恰有兩個不同的零點，只需，解得.

②當時，，不符合題意.

③當時，在上單調遞減，不符合題意.

④當時，由于在，上單調遞減，在上單調遞增，且，又，由于，，

所以，函數最多只有1個零點，與題意不符.

綜上可知，，即的取值范圍為.