Question

【題目】已知f（x）=ln（x+m）﹣mx．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設m＞1，x1 ， x2為函數f（x）的兩個零點，求證：x1+x2＜0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+m）﹣mx，∴ ，
當m≤0時，∴ ，
即f（x）的單調遞增區間為（﹣m，+∞），無減區間；
當m＞0時，∴ ，
由f'（x）=0，得 ，
時，f'（x）＞0，
時，f'（x）＜0，
∴m＞0時，易知f（x）的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 ．
不妨設﹣m＜x1＜x2 ， 由條件知 ，即 ，
構造函數g（x）=emx﹣x，g（x）=emx﹣x與y=m圖象兩交點的橫坐標為x1 ， x2 ，
由g'（x）=emx﹣1=0可得 ，
而m2＞lnm（m＞1），∴
知g（x）=emx﹣x在區間 上單調遞減，在區間 上單調遞增．
可知
欲證x1+x2＜0，只需證 ，即證 ，
考慮到g（x）在 上遞增，只需證
由g（x2）=g（x1）知，只需證
令 ，
則 ，
即h（x）單增，又 ，
結合 知h（x1）＜0，即 成立，
即x1+x2＜0成立
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）構造函數g（x）=emx﹣x，g（x）=emx﹣x與y=m圖象兩交點的橫坐標為x1 ， x2 ， 問題轉化為證明 令 ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．