Question

【題目】已知關于x的方程（t+1）cosx﹣tsinx=t+2在（0，π）上有實根．則實數t的最大值是 ．

Answer 1

【答案】﹣1
【解析】解：∵（t+1）cosx﹣tsinx=t+2， ∴t= ，
令f（x）= ，
則f′（x）= = ，
令g（x）=sinx+2cosx﹣1，則g′（x）=cosx﹣2sinx，
∴當x=arctan 時，g′（x）=0，當0＜x＜arctan 時，g′（x）＞0，當arctan ＜x＜π時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，arctan ）上單調遞增，在（arctan ，π）上單調遞減，
又g（0）=1，g（π）=﹣3，
∴g（x）在（0，π）上只有一個零點，又g′（ ）=0，
∴當0＜x＜ 時，g（x）＞0，當 ＜x＜π時，g（x）＜0，
∴當0＜x＜ 時，f′（x）＞0，當 ＜x＜π時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，0）上單調遞減，
∴當x= 時，f（x）取得最大值f（ ）=﹣1．
∴t的最大值為﹣1．
所以答案是﹣1．