Question

【題目】已知a、b、c分別是△ABC的三個內角∠A、∠B、∠C的對邊，acosB+ b=c．
（1）求∠A的大��；
（2）若等差數列{an}中，a1=2cosA，a5=9，設數列{ }的前n項和為Sn ， 求證：Sn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點C作AB邊上的高交AB與D，

則△ACD、△BCD均為直角三角形，

∵acosB+ b=c．

∴AD=AB﹣BD=c﹣acosB= b，

∴∠A=60°；

（2）證明：由（1）知a1=2cosA=2cos60°=1，

設等差數列{an}的公差為d，

∵a5=a1+（5﹣1）d=9，∴d=2，

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

∴ = = （ ﹣ ），

∴Sn= （ + +…+ ﹣ ）

= （1﹣ ）

＜ ．

【解析】（1）過點C作AB邊上的高交AB與D，通過acosB+ b=c，可知∠A=60°；（2）通過（1）及a1=2cosA、a5=9可知公差d=2，進而可得通項an=2n﹣1，分離分母得 = （ ﹣ ），并項相加即可．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；余弦定理:;;才能正確解答此題．