Question

【題目】已知函數 ，
（1）若 ，求函數 處的切線方程
（2）設函數 ，求 的單調區間.
（3）若存在 ，使得 成立，求 的取值范圍。

Answer 1

【答案】
（1）

當a=1時，f（x）=x-lnx，

∴f（e）=e-1， （x）= ，

∴ （e）= ，

∴f（x）在x=e處的切線方程為（e-1）x-ey=0.

（2）

h（x）=x+ ，∴ （x）= ，

① 當a+1＞0時，即a＞-1時，在（0，1+a）上 （x）＜0，在（1+a，+ ）上 （x）＞0，

所以h（x）在（0，1+a）上單調遞減，在（1+a，+ ）上單調遞增；

② 當1+a≤0，即a≤-1時，在（0，+ ）上 （x）＞0，

所以，函數h（x）在（0，+ ）上單調遞增.

（3）

在[1，e]上存在一點 ，使得f（ ）＜g（ ）成立，即在[1，e]上存在一點 ，使得h（ ）＜0，

即函數h（x）= x+ 在[1，e]上的最小值小于零.

由（2）可知：①1+a≥e，即a≥e-1時，h（x）在[1，e]上單調遞增，所以h（x）的最小值為h（e），由h（e）=e+ -a＜0可得a＞ ，

因為 ＞e-1，∴a＞ ；②當1+a≤1，即a≤0時，h（x）在[1，e]上單調遞增，所以h（x）最小值為h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；③當1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1時，可得h（x）最小值為h（1+a）.

因為0＜ln（1+a）＜1，

所以，0＜aln（1+a）＜a，

故h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2

此時，h（1+a）＜0不成立。

綜上討論可得所求a的范圍是：a＞ 或a＜-2.

【解析】（1）根據a的值確定確定f（x）和 f ′ （x），進而確定在f（x）在x=e處的切線方程；（2）根據f（x）、g（x）表示出h（x），然后求出h（x）的導函數 h ′ （x），通過導函數來判斷h（x）的單調區間；（3）對題目中的已知條件進行轉換，在[1，e]存在 x 0 使得 f ( x 0 ) < g ( x 0 ) ，等價于在[1，e]上存在一點 x 0 ，使得h（ x 0 ）＜0，即函數h（x）= x+ -aln x 在[1，e]上的最小值小于零。由于不確定a的取值，無法判定h（x）在[1，e]上的單調性，所以這里要根據a的取值范圍來分三種情況進行討論。
【考點精析】本題主要考查了函數的單調性的相關知識點，需要掌握注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種才能正確解答此題．