Question

【題目】已知函數f（x）= + lnx﹣1（m∈R）的兩個零點為x1 ， x2（x1＜x2）．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）求證： + ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ．

①m≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，不可能有兩個零點；

②m＞0，f′（x）＞0可解得x＞2m，f′（x）＜0可解得0＜x＜2m，

∴f（x）在（0，2m）上單調遞減，在（2m，+∞）上單調遞增，

∴f（x）min=f（2m）= ln2m﹣ ，

由題意， ln2m﹣ ＜0，

∴0＜m＜

（2）證明：令t= ，f（ ）=mt﹣2lnt﹣1=0，

由題意方程m= 有兩個根為t1，t2，不妨設t1= ，t2= ．

令h（t）= ，則h′（t）=﹣ ，

令h′（t）＞0，可得0＜t＜ ，函數單調遞增；h′（t）＜0，可得t＞ ，函數單調遞減．

由題意，t1＞ ＞t2＞0，

要證明 + ＞ ，即證明t1+t2＞ ，即證明h（t1）＜h（ ﹣t2）．

令φ（x）=h（x）﹣h（ ﹣x），

下面證明φ（x）＜0對任意x∈（0， ）恒成立，

φ′（x）= + ，

∵x∈（0， ），

∴﹣lnx﹣1＞0，x2＜ ，

∴φ′（x）＞ ＞0，

∴φ（x）在（0， ）上是增函數，

∴φ（x）＜φ（ ）=0，

∴原不等式成立

【解析】（1）求導數，分類討論，利用函數f（x）= + lnx﹣1（m∈R）的兩個零點，得出 ln2m﹣ ＜0，即可求實數m的取值范圍；（2）由題意方程m= 有兩個根為t1 ， t2 ， 不妨設t1= ，t2= ，要證明 + ＞ ，即證明t1+t2＞ ，即證明h（t1）＜h（ ﹣t2）．令φ（x）=h（x）﹣h（ ﹣x），證明φ（x）＜0對任意x∈（0， ）恒成立即可．