Question

【題目】（本小題滿分12分）．已知函數在點處的切線方程為．

（1）求的值；

（2）設（為自然對數的底數），求函數在區間上的最大值；

（3）證明：當時，．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：（1）因為，，則,;（2）首先求出在區間的極值，然后再求出端點的函數值，比較得出最大值.（3）證, 設,根據（2）中的單調性即可得出結論.

試題解析：（1）的定義域為．，，．

由已知得，，且．

（2），．

令，得．

當時，，∴，∴單調遞增；

當時，，∴，∴單調遞減．

因為，，所以

當，即時，函數在上的最大值為；

②當，即時，函數在上的最大值為．

（3）證明：當時，要證，只需證．①

設，則由（2）可知在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，即，即，當且僅當時等號成立．

令，則，∴①式成立，即不等式成立．