Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點，與短軸的一個端點構成一個等邊三角形，且直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓的左頂點的兩條直線，分別交橢圓于，兩點，且，求證：直線過定點，并求出定點坐標；

（3）在（2）的條件下求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）證明見；解析；定點；（3）.

【解析】

（1）根據直線與圓相切得圓心到直線距離等于半徑列一個方程，再根據等邊三角形性質得，解方程組得 ，即得結果；

（2）先設直線方程，與橢圓方程聯立分別解得M,N坐標，再求斜率（注意討論），利用點斜式得直線方程，即得定點坐標；

（3）利用韋達定理以及弦長公式得，再根據三角形面積公式得面積的函數關系式，最后根據基本不等式求最大值.

（1）由題意可得：，，

橢圓的方程為：.

（2）由題意知，設：，.

由消去得：，

解得：或（舍去），，

，同理可得：.

i：當時，直線斜率存在，

，

，直線過定點.

ii：當時，直線斜率不存在，直線方程為：，也過定點，

綜上所述：直線過定點.

（3）設，由（2）知：

，

令，在單調遞減，

∴當時，.