Question

已知函數，且，函數的圖象經過點，且與的圖象關于直線對稱，將函數的圖象向左平移2個單位后得到函數的圖象．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）若在區間上的值不小于8，求實數的取值范圍．
（III）若函數滿足：對任意的（其中），有，稱函數在的圖象是“下凸的”．判斷此題中的函數圖象在是否是“下凸的”？如果是，給出證明；如果不是，說明理由．

Answer 1

．（Ⅰ）（Ⅱ）a≥12（III）是

本試題主要考查了函數的解析式和函數的單調性和函數的下凸形的運用。
（1）由題意得h(x)的圖象經過(3，4)，
代入得，解得m="7." ∴分
∴．
（2）∵，
∴ 由已知有≥8有a≥-x²+8x-3， 令t(x)=-x²+8x-3，則t(x)=-(x-4)²+13，于是t(x)在(0，3)上是增函數．∴ t(x)_max=12．∴ a≥12
（3）的圖象在是“下凸的”，根據新定義證明，
解：（Ⅰ）由題意得h(x)的圖象經過(3，4)，
代入得，解得m=7.                       1分
∴                      2分
∴．                          4分
（Ⅱ）∵，
∴ 由已知有≥8有a≥-x²+8x-3，                                  6分
令t(x)=-x²+8x-3，則t(x)=-(x-4)²+13，于是t(x)在(0，3)上是增函數．
∴ t(x)_max=12．
∴ a≥12．                                                              8分
（III）的圖象在是“下凸的”．                9分



的圖象在是“下凸的”．                12分