Question

【題目】已知直線l：y=ax+1﹣a（a∈R）．若存在實數a使得一條曲線與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于|a|，則稱此曲線為直線l的“絕對曲線”．下面給出四條曲線方程：①y=﹣2|x﹣1|；②y=x2；③（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；④x2+3y2=4；則其中直線l的“絕對曲線”有（ ）
A.①④
B.②③
C.②④
D.②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由直線y=ax+1﹣a，可知此直線過點A（1，1），y=﹣2|x﹣1|= ，
如圖所示，直線l與函數y=﹣2|x﹣1|的圖象只能由一個交點，故不是“絕對函數”；
②y=x2與l：y=ax+1﹣a聯立 解得 或 ，
此兩個交點的距離 =|a|，化為（a﹣2）2（1+a2）﹣a2=0，
令f（a）=（a﹣2）2（1+a2）﹣a2 ， 則f（1）=2﹣1=1＞0，f（2）=0﹣4＜0，因此函數f（a）在區間（1，2）內存在零點，即方程（a﹣2）2（1+a2）﹣a2=0，有解．
故此函數是“絕對函數”；
③（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以（1，1）為圓心，1為半徑的圓，此時直線l總會與此圓由兩個交點，且兩個交點的距離是圓的直徑2，∴存在a=±2滿足條件，故此函數是“絕對函數”；
④把直線y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0，
∴ ， ．
若直線l被橢圓截得的弦長是|a|，則 = ，
化為 ，
令f（a）= ，而f（1）= ，f（3）= ．
∴函數f（a）在區間（1，3）內有零點，即方程f（a）=0有實數根，而直線l過橢圓上的定點（1，1），當a∈（1，3）時，直線滿足條件，即此函數是“絕對函數”．
綜上可知：能滿足題意的曲線有②③④．
故選D．