Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，是以為斜邊的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，點F滿足，.

（1）試探究為何值時，CE//平面BDF，并給予證明；

（2）在（1）的條件下，求直線AB與平面BDF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接AC交BD于點M，連接MF，若，則有CE//平面BDF，根據，，求出并證明；

（2）取AB的中點O，連接EO，OD，則.又因為平面平面ABCD，可證得兩兩垂直，建系設點，用空間直角坐標法求出直線AB與平面BDF所成角的正弦值.

解：（1）當時，CE//平面FBD.

證明如下：連接AC，交BD于點M，連接MF.，因為AB//CD，

所以AM：MC=AB：CD=2：1，又，所以FA：EF=2：1.

所以AM：MC=AF：EF=2：1，所以MF//CE.

又平面BDF，平面BDF，所以CE//平面BDF.

（2）取AB的中點O，連接EO，OD，則.

又因為平面平面ABCD，平面平面平面ABE，

所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以.

由，及AB=2CD，AB//CD，得，

由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為為等腰直角三角形，AB=2BC=2CD，

所以OA=OB=OD=OE，設OB=1，

所以，.

所以，

，所以.

設平面BDF的法向量為，則有，所以，

取，得.

設直線AB與平面BDF所成的角為，

則.

即直線AB與平面BDF所成角的正弦值為.