Question

【題目】已知函數.

(1)證明：當， 時， ；

(2)若關于的方程有兩個不相等的實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)函數的解析式， ， ，據此討論可得在定義域內單調遞增，則；

(2)否則函數，原問題等價于有兩個零點，且，據此分類討論：

若， 單調遞減， 至多有一個零點，

若， 在上單調遞減，在上單調遞增，

則，

則時， 在上必有一個零點，

結合(1)的結論在上必有一個零點，

綜上， 時，關于的方程有兩個不相等的實根.

試題解析：

(1) ， ， ，

∵，∴，∴在定義域內單調遞增，∴，

∴在定義域內單調遞增，∴；

(2)設，即有兩個零點， ，

若， ，得單調遞減，∴至多有一個零點，

若， ，得， ，得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

故，即，∴，此時，即，

當時， ，∴在上必有一個零點，

由(1)知當時， ，即，

而，得，∴，故在上必有一個零點，

綜上， 時，關于的方程有兩個不相等的實根.