Question

【題目】已知函數，.

（1）若，求證：當時，；

（2）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）時，求導并判斷函數的單調性，可得在上單調遞增，即當時，；

（2）構造函數，求導并判斷單調性可得在上單調遞增，可求出與，然后分、和三種情況討論，使得在上單調遞減所滿足的條件，可求出實數的取值范圍.

（1）依題意，定義域為，

.

令，則.

所以當時，，當時，.

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

所以，即，所以函數在上單調遞增.

所以當時，.

（2）設，則.

易知當時，，即，故在上單調遞增.

所以，.

①若，則在上，，所以.

所以.

令.

在上，要使單調遞減，則，從而.

因為，所以在上單調遞減.

所以，所以.

②若，即，則在上，，

所以，由①可知.

所以當時，，

從而，所以在上單調遞減.

③若，則存在，使得，從而.

而，，從而在區間上不單調遞減.

綜上所述，實數的取值范圍為.