Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常數a＞0． （Ⅰ）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設定義在D上的函數y=h（x）在點P（x0 ， h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），若 ＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”．當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），

∵ ，

∴

∵a＞2，∴ ，

令f′（x）＞0，即 ，

∵x＞0，∴0＜x＜1或 ，

所以函數f（x）的單調遞增區間是（0，1），

（Ⅱ）解法一：當a=4時，

所以在點P處的切線方程為

若函數 存在“類對稱點”P（x0，f（x0）），

則等價于當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x），

當x＞x0時，f（x）＞g（x）恒成立．

①當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x）恒成立，

等價于 恒成立，

即當0＜x＜x0時， 恒成立，

令 ，則φ（x0）=0，

要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）單調遞增即可．

又∵ ，

∴ ，即 ．

②當x＞x0時，f（x）＞g（x）恒成立時， ．…（10分）

∴ ．…（11分）

所以y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為 ．

（Ⅱ）解法二：

猜想y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為 ．下面加以證明：

當 時，

①當 時，f（x）＜g（x）恒成立，

等價于 恒成立，

令

∵ ，∴函數φ（x）在 上單調遞增，

從而當 時， 恒成立，

即當 時，f（x）＜g（x）恒成立．

②同理當 時，f（x）＞g（x）恒成立．

綜上知y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為 ．

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，結合a的范圍求出函數的單調區間即可；

（Ⅱ）法一：a=4時，求出f（x）的導數，得到切線方程根據新定義問題等價于當0＜x＜x0時，f（x）＜g（x），結合函數的單調性求出即可；

法二：猜想y=f（x）存在“類對稱點”，其中一個“類對稱點”的橫坐標為 ，然后加以證明即可．