Question

【題目】已知橢圓的左頂點為，離心率為，過點且斜率為的直線與橢圓交于點與軸交于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點為的中點.

（i）若軸上存在點，對于任意的，都有（為原點），求出點的坐標；

（ii）射線（為原點）與橢圓交于點，滿足，求正數的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）（i）見解析； （ii）.

【解析】

(I)根據橢圓的左頂點為，離心率為，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、，即可得結果；（Ⅱ）（i）假設軸上存在著點使得,設 ，與橢圓方程聯立，求得，利用斜率公式，結合可求得；（ii）設所在直線方程為，與橢圓方程聯立，利用弦長公式、點到直線距離公式結合韋達定理求出，再由可得，解方程即可得結果.

(I)由已知得又 橢圓方程為：,

(II) （i）假設軸上存在著點使得,

設所在的直線方程為：，點

由解得，,

，,

，,

,

解得 軸上存在著點 使得 成立,

（ii）設所在直線方程為，則

,

到直線的距離： ,

,

即,,

解得，.